Com es calculen els canvis percentuals compostos

Un sorobà per fer un recompte ràpid

David Wilson

Què és un canvi percentual compost?

Tots som conscients dels canvis percentuals. Ja sigui un 25% de descompte sobre el cost d’una nova televisió a les vendes del Black Friday o un augment del 5% de les tarifes del tren (de nou), canviar una quantitat en percentatge és una habilitat quotidiana. Però, què passa amb els canvis percentuals compostos?

Imagineu-vos que poseu 100 lliures al banc en un compte d’estalvis amb un tipus d’interès fix del 4% que es paga anualment. Al final de l'any (suposant que no heu tocat el dipòsit original), els vostres diners hauran augmentat un 4%, cosa que us proporcionarà 4 £ addicionals i un total de 104 £ al compte.

Si deixeu tots aquests diners al compte un any més, què passa llavors? Obté altres 4 £ i un total de 108 £ al banc? No. Per segon any, no només obtindreu un 4% sobre els 100 £ originals, que encara estan al banc, sinó que també obtindreu un 4% sobre els 4 £ addicionals que vau guanyar amb interessos l'any anterior. El 4% de 104 GBP és de 4,16 GBP, cosa que significa que al final del segon any tindreu 104 £ + 4,16 GBP = 108,16 GBP al vostre compte. Suposant que no toqueu els diners en un moment determinat i que el tipus d'interès del 4% es mantingui constant, guanyareu més diners cada any a mesura que augmenti l'import del vostre compte. Es tracta d’un interès compost.

Nota: si acabeu de rebre els 4 GBP cada any, això es coneixeria com a simple interès.

Com es calcula el percentatge de creixement compost

Vegem com es calcula el percentatge de creixement compost (també conegut com a interès compost quan es tracta d'exemples com el nostre).

Com abans, comenceu amb 100 £ al compte bancari i un tipus d'interès fix del 4%. Podríem trobar un 4% dividint els 100 £ per 100 per obtenir l’1% i després multiplicant-ho per 4. Això és fantàstic durant un any, però si volguéssim esbrinar quant tindrem al compte 5 o 10 anys més avall, trigarà molt.

En lloc d’això, utilitzarem una cosa anomenada mètode multiplicador. Si anomenem el nostre dipòsit original al 100%, després d’un augment del 4%, acabarem amb el 104%. Per calcular el 104% d’una quantitat, primer convertim el percentatge en decimal dividint per 100, donant-nos 104/100 = 1,04. Si es multiplica per aquest 1,04, l’import augmentarà un 4% d’una sola vegada.

Per al nostre exemple, tenim 100 lliures per començar, de manera que al cap d’un any tenim 100 lliures x 1,04 = 104 lliures. Després d’un any més, tenim 104 x 1,04 GBP = 108,16 GBP, després 108,16 GBP x 1,04 = 112,49 GBP, etc. Tot i això, podem accelerar-lo encara més.

Estem multiplicant pel mateix multiplicador, 1,04, una vegada per cada any que passa, de manera que si volem trobar el total uns quants anys més endavant, podem multiplicar per 1,04 que moltes vegades utilitzant potències.

Per exemple, després de 5 anys, tindrem 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, que és el mateix que 100 x 1,04 ⁵ = 121,67 GBP.

Al cap de 25 anys tindríem 100 £ x 1,04 ²⁵ = 266,58 GBP. Imagineu quant de temps hauria trigat si treballéssim un 4% per any per separat!

Un altre exemple de creixement percentual compost

Provem un altre exemple de creixement percentual compost.

La població d'una ciutat augmenta un 12% cada any. Si comença a 30.000 persones i suposant que aquest augment es mantindrà constant, quina serà la població d'aquí a sis anys? Què passa d'aquí a 20 anys?

Per tant, comencem amb el 100% i volem un augment del 12%, per tant, acabarem amb el 112%, que és l’1,12 com a decimal.

Per tant, al cap de 6 anys la població serà de 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Al cap de 20 anys serà de 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Què passa amb el percentatge de compostos disminueix?

Una disminució del percentatge compost (també conegut com a desintegració composta) és quan una quantitat disminueix el mateix percentatge diverses vegades. El mètode per trobar-ho és molt similar a trobar un augment.

Suposem que heu comprat un cotxe per 20.000 lliures esterlines i que cada any el valor del cotxe baixa un 15%. Volem esbrinar quant valdrà el cotxe d’aquí a cinc anys.

Podríem trobar el 15% de 20.000 lliures, restar-ho i trobar el 15% de la nova quantitat, etc., però, de nou, això trigarà una estona. En el seu lloc, vegem l’ús de multiplicadors com hem fet anteriorment.

Si comencem pel 100%, una reducció del 15% ens deixarà amb el 85%. Per tant, en lloc de pensar en això com una reducció del 15% cada any, podem pensar-ho en trobar un 85%. El 85% com a decimal és el 85/100 = 0,85, de manera que per trobar el 85% multiplicem per 0,85. Per fer-ho diverses vegades, fem servir potències com hem fet anteriorment.

Per tant, tornant a l’exemple del nostre cotxe, al cap de 5 anys el valor serà de 20 000 GBP x 0,85 ⁵ = 8 874,11 GBP.

Al cap de 10 anys, el valor serà de 20 000 £ x 0,85 ¹⁰ = 3 937,49 GBP.

Mireu el vídeo següent per obtenir més exemples.

Interès total al canal de YouTube de DoingMaths

© 2020 David