Una guia en profunditat de les variables gregues del comerç d’opcions

Els grecs

Els grecs —delta, gamma, teta, vega i rho— són cinc variables que ajuden a identificar els riscos d’una posició d’opció.

Els riscos que tenen els inversors en les opcions no són unidimensionals. Per fer front a les condicions canviants del mercat, un inversor ha de ser conscient de la magnitud d'aquests canvis. Per veure si els canvis són grans o petits, si creen un risc major o menor, la teoria d’opcions i els models de preus d’opcions proporcionen als inversors variables que identifiquen les característiques de risc de la seva posició d’opció. Aquestes variables es coneixen com a grecs. Hi ha cinc grecs que controlem: delta, gamma, theta, vega i rho.

Com que els grecs són derivats de la fórmula de Black & Scholes, començarem explicant-ne més.

Black & Scholes

La fórmula Black i Scholes, de vegades coneguda com la fórmula Black, Scholes i Merton, és l'eina estàndard del mercat per a les opcions de preus. Aquesta fórmula valora l’opció en funció del preu actual de les accions S ₀, el temps fins al venciment de l’opció T, la seva vaga X, la volatilitat σ i el tipus d’interès r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) amb

on N (x) és la funció de distribució normal acumulada per a la distribució normal estàndard, és a dir, la probabilitat que una variable aleatòria ~ N (0,1) (amb una distribució normal estàndard) sigui inferior a x.

Abans de discutir la fórmula, exposem els supòsits subjacents. La fórmula de Black i Scholes suposa:

Les devolucions són IID (independents i de distribució idèntica) amb una distribució normal.
La volatilitat futura és coneguda i constant.
El tipus d’interès futur és conegut, constant i el mateix per als préstecs i préstecs.
El recorregut de les accions és continu i és possible la negociació contínua.
Els costos de transacció són nuls.

Per desenvolupar la teoria assumim que tots aquests supòsits es mantenen. Aquesta fórmula és l'estàndard del mercat perquè és extremadament robusta respecte a les violacions dels seus supòsits.

Delta

El primer grec que es parlarà és el delta. Bàsicament, el delta és la sensibilitat del valor teòric d’una opció a un canvi en el preu del contracte subjacent. Més senzill, el delta és el canvi del valor d’una opció quan el valor subjacent augmenta 1 dòlar. Per exemple:

Δ _trucar = ∂c / ∂S = N (d ₁) i Δ _posar = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

amb N (d ₁) com a la fórmula BS.

El valor d’una opció de compra augmenta quan augmenta el preu de les accions, de manera que el delta d’una opció de compra és positiu. Per contra, el valor d'una opció de venda disminueix quan augmenta el preu de les accions, de manera que el delta de l'opció de venda és negatiu.

Es pot observar que N (x) és una funció de densitat de probabilitat, de manera que pren valor. El delta d'una trucada és sempre dins i delta d'una posada. Com que el nivell subjacent sol ser de 100 accions, el delta de l’opció es multiplica per 100. Per exemple, una opció amb un delta de 0,25 es considera un delta 25. Com més alt sigui el delta, més similar serà el canvi del valor de l’opció. estar a les accions subjacents. El valor d’una opció amb delta 100 es mourà exactament al mateix ritme que les accions subjacents. Tingueu en compte també que l'operació derivada és lineal, de manera que podem calcular delta de cada opció i sumar-les per obtenir delta de tota la cartera (llavors pot estar fora, per descomptat).

Quan una opció s’acosta a la data de caducitat, el seu delta canviarà, ja que la probabilitat d’expirar dins o fora dels diners canvia i la distribució normal es redueix i se centra al voltant de la mitjana. A mesura que una opció s’acosta a la caducitat, les opcions de diners es desplaçaran cap al delta 100 i les opcions fora dels diners es desplaçaran cap al delta 0. Les opcions de diners, en canvi, es mantindran al voltant del delta 50.

A mesura que les accions subjacents canvien de preu, també canvia el delta. Això és d’esperar ja que d ₁ és una funció del preu de les accions.

Delta d'una trucada

Una interpretació pràctica del delta és la ràtio de cobertura: la quantitat d’accions que s’haurien de comprar o vendre per neutralitzar el risc direccional d’una opció. Des de la fórmula BS podem veure una altra interpretació. En termes generals, podem dir que el delta d'una opció és la seva probabilitat d'expirar en els diners. (Per a una posició prendrem valor absolut). Aquesta aproximació només funciona per a opcions europees.

Resumint, hi ha tres interpretacions del delta:

El canvi de valor d’una opció si el valor subjacent augmenta en 1 dòlar.
La ràtio de cobertura: el nombre d’accions a comprar o vendre per neutralitzar el risc direccional de la posició.
La possibilitat que l’opció sigui en diners en caducar

→ Trucades OTM: el delta tendeix a 0 a mesura que ens apropem a l'expiració.

→ Trucades ITM: el delta tendeix a 100 a mesura que passa el temps.

Delta d'un put versus preu subjacent

Delta versus volatilitat

A mesura que la volatilitat augmenta (disminueix), el delta d’una trucada va cap a (lluny de) 0,50 i el delta d’un put cap a (lluny de) -0,50. Per tant, si la volatilitat augmenta (disminueix), disminueix (augmenta) el delta d’una opció de diners. En cas d’una opció sense diners, és exactament el contrari.

Delta versus Temps

A mesura que el temps decau, el delta d’una trucada s’allunya de 0,50 i el delta d’un punt allunyat de -0,50. A mesura que passa el temps, el delta d’un de la trucada de diners es mou cap a l’1 i el delta de la sortida dels diners cap a 0.

Gamma

El gamma és el derivat del delta en funció del preu de les accions. Com que el delta és la derivada del valor de l’opció en funció de les accions subjacents, gamma és el canvi de delta quan el preu de les accions augmenta 1 dòlar. Està escrit de la següent manera:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

amb d ₁ com a la fórmula BS i N 'la primera derivada de la funció de densitat acumulativa gaussiana, és a dir, la densitat gaussiana habitual:

Gamma versus preu de les accions, Gamma versus temps

Sovint es diu que la gamma arriba al seu valor màxim quan una opció és ATM. Això és correcte com a primera aproximació, però, s’arriba al màxim real quan el preu de les accions està just per sota del preu de venda. Aquest efecte es mostra a la part esquerra de la figura anterior per a una acció que cotitza a 100 dòlars. Donada una vaga X, σ volatilitat, una taxa r, i un temps de termini T, el valor de l'estoc donant la màxima gamma és S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

La corba gamma d'una trucada i un put són idèntics. Això és coherent amb el que hem dit sobre trucades i trucades en general, així com gamma en particular fins ara.

A mesura que disminueix el temps fins a la caducitat, augmenten el gamma i el teta de les opcions a la vista. Just abans de la seva caducitat, aquestes variables poden arribar a ser dràsticament grans.

Gamma versus temps

Com es mostra a la figura anterior, el gràfic s’estreny, però la superfície total de sota del gràfic roman inalterada. Com a conseqüència, el gràfic obté una part superior molt superior. La part superior superior simbolitza l’augment de gamma i teta a mesura que disminueix el temps fins a la caducitat.

A causa del comportament de les trucades ITM, ATM i OTM, veiem que la corba delta s’incrementarà al voltant de la vaga a mesura que s’acosta la caducitat. Per tant, la gamma augmentarà per a l’opció ATM a mesura que passi el temps. Tanmateix, això no és cert per a les opcions OTM i ITM.

La gamma és un paràmetre de risc important perquè determina quants diners podem guanyar o perdre de la nostra cartera neutral delta a mesura que canvia el preu de les accions. En el següent exemple, avaluarem el P / L d’una posició d’opció com a conseqüència del moviment del subjacent. Suposarem una gamma constant de 2,7, de manera que el delta canvia en 2,7 per dòlar el moviment subjacent.

Suposem que comprem la trucada 80 mil vegades a 5,52 amb un preu de les accions de 79 dòlars. Per ser neutral delta, hauríem de vendre 51.100 accions. El preu de les accions es desenvolupa de la següent manera:



t =	Preu de les accions
0	79
1	84
2	76
3	79

A t = 1 i t = 2, reajusto la meva cobertura per tal de ser neutre delta. A t = 3, tanco la meva posició.

Tres maneres de calcular el canvi de valor d'una posició

A continuació, es detallen tres maneres de calcular el canvi de valor de la nostra posició: la primera amb flux de caixa, la segona amb delta i la tercera amb gamma.

1. Càlcul de beneficis mitjançant el flux de caixa

Primerament examinem els fluxos d’efectiu, tal com es mostra a la taula següent. La segona columna mostra els fluxos d'efectiu relacionats amb la trucada i la tercera, relacionada amb la meva posició de borsa. L'última línia resumeix tot:

Així doncs, finalment obtindrem un benefici de 132.300. Si tenim opcions llargues i, per tant, tenim una posició gamma llarga, hem de comprar accions si el preu de les accions disminueix i vendre accions si augmenta el preu de les accions (comprar baix, vendre alt), de manera que sempre obtindrem beneficis si les accions es mouen. Comproveu vosaltres mateixos que això és vàlid tant per a trucades com per a trucades.

2. Càlcul de beneficis mitjançant Delta

Ara considerem una segona manera de calcular els beneficis. Els negocis són els mateixos, només el càlcul del benefici difereix. Amb aquest mètode considerem simultàniament l’opció i la posició de les accions. Tenim les accions com a cobertura de l’opció, així que considerem la posició total delta. Comencem delta neutral. A continuació, el moviment es mou, guanyem deltes. (Calculem els deltes que guanyem utilitzant la diferència entre dos deltas donats per als valors inicials i finals donats. Per obtenir el delta mitjà durant el moviment, prenem aquest valor dividit per dos). La cartera guanya valor segons els seus deltes, tal com s’explica a continuació.

En aquest cas, fem servir el mètode delta mitjà. És a dir, nosaltres:

Calculeu la posició delta mitjana durant el moviment de valors.
Multiplicar això per l'interval per calcular el benefici.

En el moment t, cobrim de manera que comprem / venem accions, de manera que el delta torna a ser neutral.

Vegem-ho més detingudament:

A t = 0, les accions cotitzen 79, iniciem una posició neutra delta, és a dir, tenim 51.100 accions curtes
A t = 1, les accions cotitzen 84. El Delta de la posició de l’opció és de 64,6 * 1000 (d’opcions) -51100 (d’accions). Entre t = 0 i t = 1, la meva posició delta va passar de 0 a 13.500. El meu delta mitjà per a la mudança era llavors (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 per trucada). Per calcular el PnL de la meva posició multiplico aquests deltes per la quantitat de moviment de valors: 6570 * 5 = 33.750 dòlars. Per aconseguir aquest benefici, necessito vendre accions per tornar a ser neutres en delta.
A t = 2, les accions cotitzen 76. El Delta de la posició de la meva opció és de 43,0 * 1000 i el delta de la meva posició de valors és -64600…

Exemple de càlcul de beneficis mitjançant Gamma.

3. Càlcul de beneficis mitjançant Gamma

A l'exemple anterior, hem calculat la posició mitjana delta prenent la mitjana de la posició inicial delta i la posició final delta. Això també es pot aconseguir utilitzant el gamma, ja que el gamma defineix el canvi del delta per dòlar.

Aclarim com:

A t = 0, el comerç de valors 79, neutre delta, gamma és de 2.700.
A t = 1, les accions cotitzen 84. Les accions es van moure 5, de manera que la meva nova posició delta és de 5 * 2.700. Al principi de la mudança, el meu delta era 0, de manera que el delta mitjà és de 5 * 2.700 / 2. Les accions es van moure 5, de manera que la cartera va guanyar 5 * delta mitjana = 5 * 5 * 2.700 / 2. La cartera es cobreix de manera que el delta torna a ser 0. Anomenem això "escalar la gamma". Una posició gamma llarga us permet comprar i vendre alt.
A t = 2, les accions cotitzen 76. Es tracta de moviments de 8 dòlars, la meva nova posició delta és el 8 * 2700…

Es pot utilitzar la següent fórmula genèrica si partim d'una cartera neutra delta:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2